Matemātika piektdienai

[vvv]

Tika atrasts, kā konstruēt kopīgu pieskari divām blakus esošām riņķa līnijām, kurām viens kopējs punkts (biedrs ggg97 nodemonstrēja izcilu sniegumu). Bet uzdevums joprojām nav atrisināts.

pirms 4 stundām , vvv teica:

Aprēķināt četrstūra O1T1T2O2 laukumu.

 

[ju]

Saskaldam trapeci taisnstūrī un taisnleņķa trijstūrī.

T1T2=sqrt((r1+R2)^2-(R1-R2)^2)

un tālāk jau elementāri

[Raimonds1]

Konstruējam O1 O2 nogrieznim paralēlu līniju, kas sākas punktā T1

Pagarinam O1 O2 nogriezni 

Tajā zīmējumā R1 ir A un R2 ir B

 

Iegūstam paralelogramu ar malām R1 un R1 plus R2

Iegūstam trīsstūri ar malām - R1 - R2, R1+R2 un T1T2

 

Laukums ir starpība starp paralelograma laukumu un to trīsstūra laukumu.

Laukums ir arī mazā trīsstūra laukums plus četrstūra laukums (no B jānovelk paralēla līnija horizontāli, dabū taisnstūri ar malām mazā trīsstūra garākā katete un B

Gan jau ka līdzīgu trīsstūru īpašības arī var izmantot.

Ja to mazo trīsstūri pieliek tam paralelogramam augšā un apakšā, tad arī dabū taisnstūri. Sānu mala A+A-B, pamata mala tāda pati, kā trīsstūra garākā katete. Un tad no tā visa laukuma atņem 2 trīsstūra laukumus, faktiski taisnstūra laukumu ar malām A-B un garākā katete. 

 

Labots Augusts 11, 2019 - Raimonds1

[vvv]

1 stundu atpakaļ, ju teica:

un tālāk jau elementāri

Jā.

Atbilde?

Pirms 57 minūtēm , Raimonds1 teica:

Laukums ir starpība starp paralelograma laukumu un to trīsstūra laukumu.

Jā.

Atbilde?

[Raimonds1]

Faktiski ērtāk rēķināt kā divu taisnstūru starpību. Lielais taisnstūris ar malām A+A-B un to kvadrātsaknes izteiksmi.

Mazais taisnstūris sastāv no 2 trīsstūriem. Malas A-B un tā kvadrātsaknes izteiksme. Reiz 1.5, jo jāatņem 3 trīsstūri no lielā taisnstūra summas.

Vai pat vēl labāk - taisnstūris ar malām A un to kvadrātsaknes izteiksmi un no tā atņem pusi no malas A-B un tā kvadrātsaknes izteiksmes reizinājuma.

 

Labots Augusts 11, 2019 - Raimonds1

[versatile]

Slinkums ilgi domāt, šis 3min risinājums (ilgāk aizgāja formulu latexēt), gan jau kaut kur kļūda.

Labots Augusts 11, 2019 - versatile

[vvv]

Viss pareizi. Trapece sadalīta taisnstūrī un taisnleņķa trijstūrī, taisnstūra laukums + taisnleņķa trijstūra laukums. Tikai varēji izteiksmi novienkāršot.

Vienkāršāk uzreiz lietot trapeces laukuma formulu - pamatu garumu summa reiz augstums dalīts ar divi.

[vvv]

Biedra versatile izteiksme:

Nočakarējos, kamēr uzrakstīju. Izmantoju Word vienādojumu redaktoru. versatile, kā tu rakstīji savu izteiksmi?

[Raimonds1]

Ar tik garām izteiksmēm viegli kļūdīties. Labāk zīmējums, izteiksmes aizstāj ar A, B, C un tad sarēķina.

[vvv]

Uzdevums, kurš man pašam ļoti iepatikās.

Atrast

ja ir zināms, ka

 

[ggg97]

19,79?

 

p.s ja m ir aptuveni 0.37 vai 2.63

Labots Augusts 11, 2019 - ggg97

[vvv]

Aptuveni neder. Un cik ir m nav vajadzīgs, bez tā var iztikt.

[versatile]

pirms 8 stundām , vvv teica:

versatile, kā tu rakstīji savu izteiksmi?

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

 

Par trapeces formulu negribējās domāt, vai tas bija vispārējais vai izņēmuma gadījums, kur abu malu summu reizina ar pusi augstuma. Videne tomēr pirms 15 gadiem absolvēta. Plus, skatoties uz biedru ņemtni ar šo uzdevumu, likās, ka ir kaut kāds āķis, tāpēc dekonstruēju un rekonstruēju.
Interesantāks uzdevums, lai gan arī relatīvi vienkāršs, aprēķināt riņķa līnijā ar cirkuli iezīmētas puķītes laukumu, pamatot ar pierādījumu Mans pirmais 10nieks 10. klasē

[vvv]

Pirms 3 minūtēm , versatile teica:

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Nav diez ko pārskatāmi.

[versatile]

Paņem examples un paspaidi uz tiem.
mana izteiksme izskatījās šādi:

\sqrt{(R1+R2)^2-(R1-R2)^2}*R2+\frac{\sqrt{(R1+R2)^2-(R1-R2)^2}*(R1-R2)}{2}

Hm, nez, šitas strādās?

[tex]\sqrt{(R1+R2)^2-(R1-R2)^2}*R2+\frac{\sqrt{(R1+R2)^2-(R1-R2)^2}*(R1-R2)}{2}[/tex]

 

Labots Augusts 11, 2019 - versatile

[vvv]

Esmu pieradis pie HP kalkulatoru Equation Writer. Nezinu līdzīgu online redaktoru matemātiskiem pierakstiem.

[Raimonds1]

Par to uzdevumu ar to m³

m + 1/m = 3  Pareizinam visus ar m²

m³ + m = 3 m² no tā m³ = 3 m² - m

 

To izteiksmi m³ + 1/m³  pareizinam un dalam ar m³, sanāk (m⁶ + m³ )/m³ 

 

Aizstājam m⁶ ar m³ x m³ ievietojot m³ vietā 3 m² - m

Virs daļsvītras iegūst izteiksmi 9m⁴ - 5m³ + m² , to dalot ar m³ , dabū 9m - 5 + 1/m

Tas ir tas pats, kas 9m - 5 + 1/m = m³ + 1/m³ 

 

Tad no m+1/m = 3 sanāk 1/m = 3 - m

[vvv]

Tavi pārveidojumi ir pareizi. Bet vajag rezultātu. Atbildei jāizskatās šādi:

m^3 + 1/m^3 = skaitlis

 

Ir kļūda tavos pārveidojumos

m^3 + 1/m^3 nesanāk (m^6 + m^3)/m^3, jābūt (m^6 + 1)/m^3

Labots Augusts 12, 2019 - vvv

[vvv]

pirms 16 stundām , vvv teica:

Atrast

ja ir zināms, ka

 

Uzdevumu var atrisināt izsakot m no otrā vienādojuma, tas ir kvadrātvienādojums ar divām saknēm, saknes eksaktā veidā pierakstītas sanāk diezgan sarežģītas, tad m vērtību(as) ievietot pirmajā izteiksmē un izrēķināt..., nebūs vienkārši.

Pavisam vienkāršs risinājums sanāk, ja veic pārveidojumus, biedrs Raimonds1 iesāka, bet apsīka.

Nedaudz pateikšu priekšā. Noderēs divas formulas

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

atrodama jebkurā matemātikas rokasgrāmatā

a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab

nav matemātikas rokasgrāmatās, bet izsakāma no formulas (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, kas atrodama jebkurā matemātikas rokasgrāmatā.

[camel]

18

[vvv]

Kā rēķināji?

[camel]

(m + 1/m)3 = 27

m3 + 3m + 3/m + 1/m3 = 27

m3 + 1/m3 + 3(m + 1/m) = 27

m3 + 1/m3 =  27 - 3*3 = 18

[vvv]

Supereleganti.

[vvv]

Es lietoju formulas:

Lai pārskatāmāk, pieņēmu ka m = a un 1/m = b, līdz ar to m + 1/m = a + b

m^3 + 1/m^3 = a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) = (a + b)((a + b)^2 - 2ab - ab) = (a +b)((a + b)^2 -3ab) = 3(3^2 - 3m/m) = 3(9 - 3) = 3×6 = 18

[vvv]

Ja kāds nesaprata biedra camel uzrakstīto izvedumu (viņš bija gaužām lakonisks).

Otrā izteiksme tika kāpināta kubā. Izteiksmes labā puse 3^3 = 27, izteiksmes kreisai pusei noder summas kubā formula (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

[vvv]

Vēl viens uzdevums.

n, a, b ir naturāli skaitļi. 2 ≤ n ≤ 750. b > 1. Cik pavisam ir tādu n, lai izpildītos n = a^b.

Uzdevumā nekas nebija teikts, vai 0 jāuzskata par naturālu skaitli vai, nē, matemātiķiem šajā ziņā viennozīmīgas nostājas nav. Uzdevuma atbilde atšķirsies abos gadījumos - nulle ir naturāls skaitlis, nulle nav naturāls skaitlis. Lai nebūtu pārpratumu, šajā uzdevumā uzskatīsim, ka 0 nav naturāls skaitlis, tātad, naturāli skaitļi ir 1, 2, 3, 4...

Pirmā brīdī izskatās, ka iespējamo n ir daudz, izrādās, to nemaz nav daudz, viegli visus saskaitīt. Mēģiniet.

[vvv]

Par nulli lieki uzrakstīju. Nulli nesanāks lietot, uzdevuma nosacījumi neļauj.

[vvv]

Nerisina biedri uzdevumu. Nav pietiekoši interesants.

Uzrakstīšu savu risinājumu.

a nevar būt 0 un nevar būt 1, jo n ≥ 2

b = 2, der a no 2 līdz 27, kopā 26 varianti

b = 3, der a no 2 līdz 9, kopā 8 varianti

b = 4, der a no 2 līdz 5, kopā 4 varianti

b = 5, der a no 2 līdz 3, kopā 2 varianti

b = 6, der a no 2 līdz 3, kopā 2 varianti

b = 7, der a = 2, 1 variants

b = 8, der a = 2, 1 variants

b = 9, der a = 2, 1 variants

Skaitam kopā iespējamos variantus

26 + 8 + 4 + 2 +2 + 1 + 1 + 1 = 45

Atbilde: pavisam ir 45 tādu n, kad izpildās n = a^b

[vvv]

Interesantam vienādojumam internetā uzskrēju:

Vienkārši iepatikās.

Šo risināšana nav vienkārša. Varat papētīt. Atslēgas vārds googlei tetration.

 

[vvv]

Paturpinot par kvadrātsaknēm.

Vai biedri var atrisināt šādu vienādojumu. Bez kalkulatoriem.

Vispār tāda veida vienādojumi ir sarežģīti, bet šo var izlobīt galvā.

[versatile]

2?

[vvv]

2 der.

Bet ir vēl viena sakne.

[CosmosDC]

4.

Šādus jau apskata kādā 10. klasē (vai kad tur precīzi apskatīja saknes vilkšanu un kāpināšanu, kas principā ir aizstājams ar saskaitīšanu un atņemšanu beigās).

[vvv]

Jā, otra sakne 4.

Eksponentvienādojumus 10. klasē apskata. Bet vispār tie ir sarežģīti risināmi vienādojumi. Nezinu, vai tagad vidusskolas matemātikas kursā māca integrēšanu, man vidusskolā integrāļi bija, bet tikai tādā apskatīšanas līmenī, iemācīja kaut kādas integrēšanas formulas, neko daudz. Vēlāk augstskolā integrēšanu bija jāmācās nopietni, tad sapratu, cik tas sarežģīti un ka vidusskolā integrēšanu tikai «apskatīja».

[CosmosDC]

Vispārējā vidusskolas programmā noteikti neapskata ne atvasināšanu, ne integrēšanu. Ja skolotājs ir entuziasts, tad varbūt garām ejot apskata arī tagad, varbūt kādam olimpiādes uzdevumam noder, bet tik smalki nemācēšu teikt.

Es vairāk par konkrēto uzdevumu, nu to tā kā jebkurai loģiski domājošai galvai ~ 30 sekundēs vajadzētu atrisināt.

[vvv]

Pirms 14 minūtēm , CosmosDC teica:

Vispārējā vidusskolas programmā noteikti neapskata ne atvasināšanu, ne integrēšanu.

Skaidrs.

Pirms 15 minūtēm , CosmosDC teica:

nu to tā kā jebkurai loģiski domājošai galvai ~ 30 sekundēs vajadzētu atrisināt.

Līdz divniekam nonākt viegli. Kvadrātsakne no skaitļa, tas viss kvadrātā, sanāk tas pats skaitlis. Aizdomāties līdz četriniekam gan grūtāk. Kā atrisināt analītiski? Laikam nebūs vienkārši.

Wolfram Alpha dod pavisam sarežģītu izteiksmi atrisinājumā.

[versatile]

Nu, skaidrs, ka atrisinājumam būs sakars ar kādu no 2 pakāpēm, pie kam gana mazām, jo

0 neder, jo jebkas ^0 = 1

1 neder, jo sqrt(2) būs 1 tikai pakāpē 0, bet - 0 <> 1

2 der, tālāk nepētīju.

[CosmosDC]

To izteiksmi var pārrakstīt kā   = x (šim jau tā kā būtu galvā jānotiek, nemaz nezinu, kā savādāk darbības ar pakāpēm un saknēm veikt).

Tālāk jau pašsaprotami.

[vvv]

Pirms 3 minūtēm , CosmosDC teica:

To izteiksmi var pārrakstīt kā   = x

Vēl var paturpināt

2^(x/2) = x

(2^x)^(1/2) = x

Kāpinām abas vienādojuma puses kvadrātā

2^x = x^2

Sanāk pavisam uzskatāmi.

 

[binary]

1 stundu atpakaļ, versatile teica:

0 neder, jo jebkas ^0 = 1

Baumo, ka tā var arī nebūt taisnība.

https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_to_the_power_of_zero

Zero to the power of zero, denoted by 0^0, is a mathematical expression with no agreed-upon value. The most common possibilities are 1 or leaving the expression undefined, with justifications existing for each, depending on context.

Tiesa, tas nekādā veidā neietekmē konkrētā uzdevuma risināšanu un/vai rezultātu.