vvv Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 tas, ka tu nemāki, nenozīmē ka uzdevumu nevar atrisināt TIKAI AR CIRKULI, bez lineāla. Vajag tikai mazliet vairāk smadzeņu. Slinkums meklēt, bet kaut ko atceros, bija kaut kādi pierādījumi matemātikā par tēmu, tipa, pierādīts, ka ar cirkuli un lineālu var uzkonstruēt viskautko (daudz), un tai pat laikā pierādīts, ka ar cirkuli un lineālu nav iespējams uzkonstruēt kaut ko (arī daudz), nezinu vai atsevišķi ir izdalīts pierādījums, ka tēmā dotā uzdevuma mandala ir uzkonstruējama ar cirkuli un lineālu vismaz, vai ir pierādījums, ka nav iespējams uzkonstruēt tikai ar cirkuli vien, nezinu... Katrā ziņā ir daudzas lietas pierādītas tieši tādā formulējumā - nav iespējams. Un neviens tādēļ nesaka - vajag tikai mazliet vairāk smadzeņu. Ja kāds grib smadzenes pielietot, ir vesels saraksts: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_unsolved_problems_in_mathematics Visās tajās problēmās var nonākt līdz pierādītam problēmas atrisinājumam, vai arī līdz pierādījumam, ka to problēmu nevar atrisināt. Link to comment Share on other sites More sharing options...
interneta_cinitajs Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 (labots) nav jāmeklē 90 grādu leņķis, viss ir vienkārši, bet uz baltas papīra lapas tā nav Laikam jau tev taisnība tādā gadījumā. Tikai ar lineālu (kas arī minēts uzdevuma nosacījumā) ģeometriijā esmu pieņēmis taisnleņķa trijstūri, kurš skolas laikos kā reiz šāda tipa uzdevumos vienmēr ir bijis atļauts. Tātad pa lielam atliktu iegūt apļa diametru un pārējais vienkārši. Bet ja lineāls nav taisnleņķa, atzīšos, mazliet galva jāpalauza, ja nemāk kvadrātsakni. Labots Februāris 6, 2016 - interneta_cinitajs Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 Starp citu, vai jūs zināt, kā var uzkonstruēt kvadrātu? Arī dažiem liksies, ka pietiks ar lineālu vien. Nē, vajag lineālu (taisnu līstīti, bez mērvienībām uz lineāla) un cirkuli. Ja nemaldos, par šo bija pierādījums, ka vajag vismaz lineālu un cirkuli. Nepietiks ar mazliet vairāk smadzenēm. Link to comment Share on other sites More sharing options...
interneta_cinitajs Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 (labots) ka ar cirkuli un lineālu nav iespējams uzkonstruēt kaut ko (arī daudz) https://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/impossconstruct.html Ieinteresēji par tēmu, bet laikam jau nav nemaz tik daudz to neiespējamo lietu. Tiesa, būtu interesanti uztaisīt kādu questu foruma ietvaros ar dažādiem ģeometrijas uzdevumiem, būtu vismaz iemesls izvilkt veco rasējamo komplektu, jo, kā tikko sapratu, autokads padara slinku. Labots Februāris 6, 2016 - interneta_cinitajs Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 pielietojot koeficentu - kvadrātsakni no 2, kas arī ir kvadrāta ārējā un iekšējā apļa attiecība Precizēšu, kvadrātsakne no divi ir vienāds ar kvadrātā apvilktā apļa diametrs dalīts ar kvadrātā ievilktā apļa diametru. Diametrs šeit ir atslēgas vārds. Pavisam interesanti stāsti ir ar riņķa laukumu, visi zinām, ka riņķa laukums S = (π * d^2) / 4. Kā mēs to zinām? Skolā mums to iemācīja. Tad, lūk, gadsimtiem ilgi matemātiķi mēģināja atrast, kā tikt pie riņķa laukuma izmantojot cirkuli un lineālu, precīzi izsakoties, tie bija mēģinājumi uzkonstruēt kvadrātu, kuram ir tieši tāds pats laukums, kā dotajam riņķim. Kopš senās Divupes laikiem, senās Ēģiptes, senās Indijas, senās Grieķijas... matemātiķi ar to cīnījās. 18. gadsimtā, ja pareizi atceros, pierādīja, ka nav iespējams, tas ir, ar cirkuli un lineālu nav iespējams. Priekš skaitļa π izdomāja, ka tas ir transcedentāls skaitlis (nav algebrisks). Link to comment Share on other sites More sharing options...
ggg97 Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 Precizēšu, kvadrātsakne no divi ir vienāds ar kvadrātā apvilktā apļa diametrs dalīts ar kvadrātā ievilktā apļa diametru. Diametrs šeit ir atslēgas vārds. Bet, ja mēs manipulējam ar 2x mazāku vienību - radiusu, tad tas divnieks, aizmirsu precīzu terminu, nahrenizējas un arī uz radiusu atšķirību reizinājumā var teikt, ka tie atšķiras reiz kvadrātsakne no 2. Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 būtu interesanti uztaisīt kādu questu foruma ietvaros ar dažādiem ģeometrijas uzdevumiem Ļoti aizraujoša lieta. Nav nekas jauns. Bija viens periods, 18. vai 19. gadsimtā, kad bija baigā mode uz ģeometriju. Tāds izklaides veids, ļaudis tusēja risinot visādus ģeometriskus uzdevumus, populāra lieta bija, bez maz vai tādā pat līmenī kā mūzika, teātri... Es pievienojos, ka būtu labi ko tādu forumā. Link to comment Share on other sites More sharing options...
ggg97 Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 (labots) 18. vai 19. gadsimtā, kad bija baigā mode uz ģeometriju. Tad redz, no kuriem gadsimtiem Tev kājas aug... p.s. Bet padomājot par mūsu izcelsmi un senčiem, vai mēs ikdienā nojaušam, ka ikvienam no mums, kurš šobrīd staigā pa šo pasauli, senču dzīslas aizstiepjas līdz pašiem cilvēku ģints pirmsākumiem? p.p.s. tas tikai nozīmē vienu, ka katrs no mūsu senču senčiem negāja bojā pirms nepiedzima viņa pēcnācējs. Labots Februāris 6, 2016 - ggg97 Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 6, 2016 Share Februāris 6, 2016 ja mēs manipulējam ar 2x mazāku vienību - radiusu Ja kvadrāta apvilktā un ievilktā apļa diametru vietā lieto radiusus, tad radiusu attiecība tāda pati - kvadrātsakne no divi. ggg7, mums viens skolotājs bija aktīvs uz visādiem tādiem pastāstiem, vis kaut ko stāstīja. Tās visas formulas un teorijas ar gadiem aizmirstās, bet šitie viņa stāstiņi gan, ne. Katrā ziņā, interesanti atcerēties. Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 7, 2016 Share Februāris 7, 2016 tas, ka tu nemāki, nenozīmē ka uzdevumu nevar atrisināt TIKAI AR CIRKULI, bez lineāla. Vajag tikai mazliet vairāk smadzeņu. Par šo biedram e = d +1 Sāku meklēt gūglē, atradu. Godīgi, es nezināju, ka tāda lieta ir. Diezgan sena, bet tuvāk mūsdienām. https://en.wikipedia.org/wiki/Mohr%E2%80%93Mascheroni_theorem Neizlobīju, vai tas darbojas absolūti visos gadījumos, vai tur ir kādi ierobežojumi... Savukārt šajā vietnē apgalvojums ir kategorisks http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass.shtml Visu, ko var izdarīt ar cirkuli un lineālu, var izdarīt ar cirkuli tikai. Godīgi, es šo nezināju. Jautājums biedram e = d. Kā ar tevi? Tu par šo zināji? Tik godīgi atbildi, lūdzu. Šīm lietām vajag nevis mazliet vairāk smadzeņu. Šīm lietām vajag ļoti daudz vairāk smadzeņu. Kurš ķersies klāt pie tēmas uzdevuma, tā par mandalu sestai klasei? Šoreiz izmantojot TIKAI UN VIENĪGI CIRKULI. Nu ko, biedri, pieturiet cepures, spiediet man roku... Tagad tā. Uzņemam laiku. Mans iepriekšējais komentārs, kamēr tagad rakstu, skatos, pievienots pulksten 01:31, zinu, kad pievienošu šo, ko dotajā brīdī rakstu, jauns komentārs neizveidosies, šis teksts ar izlaistu rindiņu virs tā vienkārši pievienosies esošajam komentāram, komentāra laiks nomainīsies uz pašreizējo. To es tā, lai jūs varētu aptuveni saprast, cik laiku tas man prasīja, lai arī es nedarīju visu no komentāra līdz komentāram, bija pauzes. Uzreiz teikšu - tēmas uzdevumu (mandala 6. klasei) var atrisināt TIKAI AR CIRKULI, un es to izdarīju. Nekādu lineālu, balta lapa un cirkulis (kārtības labad, cirkulis sākotnēji iestatīts ar radiusu 5 cm). Ieinteresēja mani šīs lietas, nebija žēl nozagt sev no miega diezgan, pieķēros un paveicu. Papildus cirkulim un baltai lapai bija nepieciešams: 1) spravočņiks elementārajā matemātikā, 2) nedaudz googles. Nē, nē, googlē atrisinājumu nemeklēju, googlē tik dabūju informāciju par to Maskeroni teorēmu, nedaudz prasījās iebraukt tajā teorijā. Tagad iešu gulēt. Apsolu, kad būs laiks, izlikšu šajā tēmā savu risinājumu, neteikšu, ka konstruēšanas baigi daudz, bet izštukot to visu, bija ko pasvīst, iedošu kaut kādus matemātiskus izvedumus saviem apsvērumiem, jo risinājums tikai ar cirkuli ir daudzkārt sarežģītāks nekā risinājums ar cirkuli un lineālu. Link to comment Share on other sites More sharing options...
interneta_cinitajs Februāris 7, 2016 Share Februāris 7, 2016 (labots) https://en.wikipedia.org/wiki/Napoleon's_problem#Dividing_a_given_circle_into_four_equal_arcs_given_its_centre Izskatās, ka Napaleonu nomocīja līdzīgas problēmas... Augstāk iepostotais links gan tikai padara derīgu manis iepriekš iepostoto risinājumu ar centriem 12, 3, 6, un 9, bet labprāt redzētu vvv risinājumu bez lineāla. Labots Februāris 7, 2016 - interneta_cinitajs Link to comment Share on other sites More sharing options...
e = d Februāris 7, 2016 Share Februāris 7, 2016 Es teorēmu kā tādu neatcerējos, bet to, ka var iztikt ar cirkuli gan no senseniem laikiem (vēl iepriekšējā tūkstošgade), kad olimpiādēm gatavojos. Es galvā risināju to uzdevumu Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 7, 2016 Share Februāris 7, 2016 Malacis, e = d. Tagad, kad zinu, ka var iztikt tikai ar cirkuli, ar diezgan lielu pārliecību par izdošanos varu ķerties pie jebkura uzdevuma. Galvenais, zināt, ka var atrisināt. Kā teikt, iedodiet man tikai cirkuli, un es visu samērīšu. Paskatieties, kā mūsdienu ģeodēzisti strādā, visu dara ar datorteodolītiem, GPS iekārtām. Varētu iztikt ar cirkuli vienu pašu. labprāt redzētu vvv risinājumu bez lineāla. Dotā brīdī, nav laika. Pa šodienu sagatavošu sava risinājuma izklāstu. Pavisam vienkāršās lietas, kad ir cirkulis un lineāls, kļūst pagalam sarežģītas, kad ir tikai cirkulis. Tēmas uzdevumā divas tādas jāatrisina, citādi nekas savādāks. Link to comment Share on other sites More sharing options...
interneta_cinitajs Februāris 7, 2016 Share Februāris 7, 2016 (labots) Ar manuāļiem par Napaelona problēmu un šo te http://math.stackexchange.com/questions/227285/constructing-the-midpoint-of-a-segment-by-compass tiku tik tālu. Bet ir aizdoma, ka kaut ko lieki sarežģīju. Tiešām gaidīšu tavu risinājumu. Labots Februāris 7, 2016 - interneta_cinitajs 1 Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 7, 2016 Share Februāris 7, 2016 (labots) Elegants risinājums. Man viss gāja grūtāk, bet principā sanāca tas pats. Uzdevumā jāatrisina riņķa līnijas sadalīšana četrās vienādās daļās (tā iegūst ievilktā kvadrāta virsotnes) un nogriežņa (kvadrāta malas) sadalīšana uz pusēm, šīs ir tās grūtākās lietas, ja tikai cirkulis. To pirmo problēmu atrisināju tāpat kā tu, to otro savādāk, bet šo pēdējo, atzīšos, pats neko neizgudroju, paņēmu gatavu risinājumu. http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/compass10.shtml Te ir, kā dalīt nogriezni uz pusēm. Domas pavediens man bija sekojošs. Visi atceramies, kā bērnībā ar cirkuli mācējām uzvilkt riņķa līniju, tad ar to pašu cirkuļa radiusu, vajadzēja vilkt lokus, cirkuļa adatu iebakstam kaut kur uz riņķa līnijas, velkam loku, kas sākas uz riņķa līnijas, iet caur riņķa līnijas centru, beidzas uz riņķa līnijas, tad nākamo loku, ar centru iepriekšējā loka galā, tā sešas reizes, sanāk galā smuka puķe. Aplī ir 360 °, sadalot apli sešās vienādās daļās, dabūjam sešas reizes 60 °, tajā pat laikā mums iegūts apļa dalījums trijās vienādās daļās, trīs reizes pa 120 °. Tas viss mums ir iegūts, no sākumā dotā cirkuļa ar radiusu 5 cm. Tālāk sāku štukot tā. Aplūkoju trijstūri, zināmas divas malas, kas vienādas ar radiusu, leņķis starp tām 120 °. Pēc trijstūra formulas a^2 = b^2 + c ^2 - 2bc*cosA var dabūt trešo malu, mūsu gadījumā meklējamā mala ir a, bet b un c ir vienādi ar r. a^2 = r^2 + r^2 - 2r^2*cos120° -> a = r * sqr(1 + 1 - 2(-0,5)) = r * sqr3 Tad Pitagora teorēma a^2 + b^2 = c^2, a mums ir r, c mums ir sqr3 * r, b sanāks sqr2 * r, tātad mēs varam tikt pie ievilktā kvadrāta malas. Šeit konstruēju līdzīgi kā tu, lai iegūtu tādu trijstūri (taisnleņķa), kura malas ir r, sqr2 * r, sqr3 * r. Nu ko, esam dabūjuši ievilktā kvadrāta malu. Divas virsotnes mums jau ir, atliek atlikt pārējās divas, ar to pašu cirkuļa radiusu sqr2 * r. Jā, risinājums principā tāds pats, kā tev. Tālāk ne mazāk grūts uzdevums, atrast viduspunktus aplī ievilktā kvadrāta malām. Atliekam nogriezni, kas nedaudz īsāks par sqr2 * r, uz dullo, divi punkti, ka tik attālums starp tiem īsāks, kā attālums starp sqr2 * r galapunktiem. Tad mums vajadzēs divreiz garāku nogriezni par šo, to dabūjam ar cirkuli, kā bērnības ziedlapiņas bildē - velkam apli ar radiusu, kas vienāds ar dubultojamā nogriežņa garumu, uz apļa secīgi atzīmējam radiusus, trešajā piegājienā iegūstam punktu E, AE = 2*AB Tālāk jākonstruē divi apļi ar vienu kopēju centru O. Vienam radiuss AB, otram radiuss AE. Lielākais aplis sanāk divreiz lielāks par mazāko. Tad ar cirkuli uz lielākā apļa atliekam nogriezni sqr2 * r, tad ar cirkuli velkam divus apļus, kuriem radiuss vienāds ar to pašu sqr2 * r, centri attiecīgi tā paša nogriežņa galos, šie divi apļi krusto mazāko apli (to, kam radiuss AB un centrs O) divos punktos. Domās savienojam šos krustpunktus, ieguvām garumu, kas vienāds ar pusi no sqr2 * r. Par pēdējo, tur pirmajā brīdī grūti saprast, kā tad tā, bet viegli pierādāms, ka tā arī ir, Divu palīgapļu (kopīgais centrs O) radiusu attiecība ir vienāda ar to nogriežņu garumu attiecību. Nu ko, viss mums ir, tālāk primitīva loku vilkšana ar cirkuli. Radiuss sqr2 * r / 2, loku centri vispirms kvadrāta virsotnēs, pēc tam kvadrāta malu viduspunktos. Atceramies, līnijas ar cirkuli mēs novilkt nevaram, varam tik vilkt lokus, atzīmēt attālumus, atlikt punktus... Vispirms gan mazākais aplis jāuzvelk, sāku zīmēt, skatos, vajag. Diametrs tas pats - kvadrātsakne no 2 reiz r dalīts ar 2. Nu gan noņēmos visu šo rakstīdams. Ceru, ka vismaz kādam biedram būs interesanti. Labots Februāris 7, 2016 - vvv 1 Link to comment Share on other sites More sharing options...
gitis Februāris 7, 2016 Author Share Februāris 7, 2016 (labots) interesanti uztaisīt kādu questu foruma ietvaros ar dažādiem ģeometrijas uzdevumiem https://www.google.lv/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwidz4ezhubKAhVFkCwKHeyoDeMQjRwIBw&url=http%3A%2F%2Fwww.cosmic-kitchen.com%2Fi-am-a-i.php%3Fpage%3DxChapter_1.7&psig=AFQjCNFEjuEzRyvSL3UBUN2k-mjANjsPfw&ust=1454948085595929 Kaut kas tāds ir laikam kosmoss:) Atbalstu! Paldies biedriem. Ir takš kādreiz galvu jāpalauza:) To VVV liels Tev paldies. Būtu labs uzdevums skolniekam 6 + 5 klases olimpiādē. Labots Februāris 7, 2016 - gitis Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 8, 2016 Share Februāris 8, 2016 Kaut kas tāds ir laikam kosmoss:) Apskatījos. Pirmais iespaids - sarežģīti, slinkums bija iedziļināties. Ierakstīju googlē "hard geometry problems", sameklējās šitāds http://thinkzone.wlonk.com/MathFun/Triangle.htm Izrādās ļoti populārs uzdevums, nosaukums arī dikti efektīgs Pamēģināju atrisināt, atzīšos, neizdevās dažās minūtēs, kā sākumā domāju, laiku precīzu neuzņēmu, pat nemācēšu pateikt cik nosēdēju, pusstunda bija, varbūt pat vēl, atrisināju. Pamēģiniet jūs, diezgan interesanti. Googlē atrisinājumi atrodami, bet ieteiktu neskatīties, lai interesantāk. Tur arī ir ierobežojumi, jārisina ar elementārām ģeometrijas zināšanām, nedrīkst trigonometriju izmantot, man tas ļoti traucēja - tādā veidā sevi ierobežot. Uzdevums kā reiz tēmai atbilstošs, tieši tie paši nosacījumi, jānolaižas līdz skolnieka zināšanu līmenim. P.S. Es pirmo uzdevumu no tās lapas risināju, ir vēl otrs, nezinu, vai grūtāks, vai citu pieeju prasa. Link to comment Share on other sites More sharing options...
gitis Februāris 8, 2016 Author Share Februāris 8, 2016 To VVV jārisina ar elementārām ģeometrijas zināšanām, man tas ļoti traucēja Kā naglai pa galvu! Tajā Vācijas skolā, ja kas, mācību tēmas nosaukums sākotnējamam uzdevumam ir Geometishe Problemen:) Vēlreiz liels paldies pa sestklasnieka uzdevuma pacelšanu jaunā, vismaz 2X augstākā līmenī ar tik perfektu izvedumu! (Pašam bija slinkums). Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 8, 2016 Share Februāris 8, 2016 Atrisināju arī otro uzdevumu, kas turpat lapā bija. No skata stipri līdzīgs, bet... Iepriekšējā pieeja nederēja. Kaut beigās atrisinājums bija vienkāršāks, pat gribējās teikt, kā tad to uzreiz nepamanīju. Ar otro nocīnījos ilgāk. Iesaku, ja prāts nesās uz galvas palauzīšanu, kad ir laiks. Link to comment Share on other sites More sharing options...
Racer Februāris 8, 2016 Share Februāris 8, 2016 Ar otro nocīnījos ilgāk. Iesaku, ja prāts nesās uz galvas palauzīšanu, kad ir laiks. Tev tiešām ir laiks, kas ir labi... Link to comment Share on other sites More sharing options...
gitis Februāris 8, 2016 Author Share Februāris 8, 2016 Tev tiešām ir laiks, kas ir labi... Mandalas ir atslēgas vārds. Link to comment Share on other sites More sharing options...
vvv Februāris 8, 2016 Share Februāris 8, 2016 Nav man laika, nav. Toties es nemakšķerēju. Link to comment Share on other sites More sharing options...
Recommended Posts
Izveido kontu, vai pieraksties esošajā, lai komentētu
Jums ir jābūt šī foruma biedram, lai varētu komentēt tēmas
Izveidot jaunu kontu
Piereģistrējies un izveido jaunu kontu, tas būs viegli!
Reģistrēt jaunu kontuPierakstīties
Jums jau ir konts? Pierakstieties tajā šeit!
Pierakstīties tagad!